Дзета-функция - Definition. Was ist Дзета-функция
Diclib.com
Wörterbuch ChatGPT
Geben Sie ein Wort oder eine Phrase in einer beliebigen Sprache ein 👆
Sprache:

Übersetzung und Analyse von Wörtern durch künstliche Intelligenz ChatGPT

Auf dieser Seite erhalten Sie eine detaillierte Analyse eines Wortes oder einer Phrase mithilfe der besten heute verfügbaren Technologie der künstlichen Intelligenz:

  • wie das Wort verwendet wird
  • Häufigkeit der Nutzung
  • es wird häufiger in mündlicher oder schriftlicher Rede verwendet
  • Wortübersetzungsoptionen
  • Anwendungsbeispiele (mehrere Phrasen mit Übersetzung)
  • Etymologie

Was (wer) ist Дзета-функция - definition

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОЙ ИЗ ДОЛГИХ ПРОБЛЕМ МАТЕМАТИКИ.
Дзета-функция; Тождество Эйлера (теория чисел); Римана дзета-функция; Ζ-функция Римана; Тождество Эйлера в теории чисел
  • Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • s}} > 1
  • График дзета-функции Римана (аналитического продолжения ряда Дирихле) на действительной оси. Слева от нуля масштаб шкалы значений функции увеличен в 100 раз для наглядности

Дзета-функция         

1) аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, определяемая при σ > 1 формулой

Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий математик Б. Риман (1859), поэтому её часто называют дзета-функцией Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Чебышева (1848) и Б. Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Д.-ф. и свойствами простых чисел.

Эйлер вычислил значения ξ(2s) для любого натурального s. В частности

Далее он вывел тождество (тождество Эйлера)

где произведение распространяется на все простые числа р = 2, 3, 5,...

Первостепенное значение для теории простых чисел имеет распределение нулей Д.-ф. Известно, что Д.-ф. имеет нули в точках s = -2n, где n = 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными) и что все остальные (так называемые нетривиальные) нули Д.-ф. находятся в полосе 0 < σ < 1, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули Д.-ф. расположены на прямой σ = 1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные результаты о распределении нулей Д.-ф. получены при помощи созданного советским математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитической теории чисел.

Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Титчмарш Е. К., Дзета-функция Римана, пер. с англ., М., 1947; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. - Л., 1936; Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. - Л., 1948; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.

2) В теории эллиптических функций (См. Эллиптические функции) встречается Д.-ф. Вейерштрасса

где ℙ(u) - эллиптическая функция Вейерштрасса. Эту Д.-ф. не следует смешивать с Д.-ф. Римана.

Дзета-функция Римана         
Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция \displaystyle \zeta(s) комплексного переменного s = \sigma + it, при \sigma > 1 , определяемая с помощью ряда Дирихле:
Римана дзета-функция         
(математическая)

Wikipedia

Дзета-функция Римана

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция ζ ( s ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (s)} комплексного переменного s = σ + i t {\displaystyle s=\sigma +it} , при σ > 1 {\displaystyle \sigma >1} , определяемая с помощью ряда Дирихле:

ζ ( s ) = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots .}

В комплексной полуплоскости { s C Re s > 1 } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s>1\}} этот ряд сходится, является аналитической функцией от s {\displaystyle s} и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки s = 1 {\displaystyle s=1} .

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости Re s = 1 / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} s=1/2} , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.